辛矩阵的行列式为什么等于1一个2nX2n的矩阵M（通常布于实数或复数域上）和A,使之满足M‘AM=A,其中M'表M的转置矩阵,而A是一个固定的可逆斜对称矩阵即A=[0E;-E0].其中E是nXn阶单位方阵,求证M

Question

辛矩阵的行列式为什么等于1
一个2nX2n的矩阵 M（通常布于实数或复数域上）和A,使之满足M‘AM=A,其中M'表 M的转置矩阵,而 A是一个固定的可逆斜对称矩阵即A=[0 E;-E 0].其中E是nXn阶单位方阵,求证M的行列式等于一.请问怎么证明?

Answer 1

一般来讲你的矩阵A记成J,这个记号比较常用
然后再定义一下辛共轭Z^J=-JZ'J,那么辛矩阵就是满足M^J=M^{-1}的矩阵
按分块形式写
E F
G H
的辛共轭是
H' -F'
-G' E'
接下来构造性地证明辛QR分解,即任何辛矩阵M都可以分解成M=QR,其中Q是辛酉矩阵,R是块上三角阵
R=
U V
0 -U'^{-1}
且U是上三角阵
显然det(R)=1,只要把QR分解构造出来并说明det(Q)=1即可
对于
M=
E F
G H
1)利用n维Householder镜像变换X,可以把G的第一列变成ge_1的形式,即最多只有第1个分量非零
那么对M作用Q_1=diag[conj(X),X]就可以把M当中的G的第一列消成只有一个非零元,显然det(Q_1)=1,且Q_1是辛酉矩阵
2)再对M的第n和n+1行用Givens旋转Y=[c s; -conj(s) conj(c)],可以把Q_1M的G位置的第一列完全消成零
取Q_2=diag[I_{n-1},Y,I_{n-1}],显然det(Q_2)=1
3)进一步对Q_2Q_1M的左上角块进行镜像变换可以把E位置的第一列消成只剩一个非零元,同样取共轭后作用到底下的两块
这样3小步消去后整个矩阵的第一列只剩下1个非零元,注意整个消去过程中的酉变换都是辛酉变换,所以保持辛结构,重复这样的步骤就可以把前n列消成[U; 0]的形式,这和普通矩阵的Householder消去法原理一样,只是略微复杂一点.
最后利用一下辛矩阵的定义,块上三角的辛矩阵的对角块一定是按U和-U'^{-1}成对出现的,这就证明了辛QR分解,作为副产品也得到了det(M)=1.
当然,辛酉矩阵的行列式为1也可以单独证,因为辛酉矩阵只有两个自由块,验证起来很容易.