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如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你
题目详情
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
▼优质解答
答案和解析
（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，
所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）
从而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF． …（7分）
取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，
因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形． …（10分）
所以AM∥FN，
因为AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF． …（14分）
所以DE⊥AC．…（2分）
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D…（4分）
从而AC⊥平面BDE．…（6分）
（2）当M是BD的一个三等分点，即3BM=BD时，AM∥平面BEF． …（7分）
取BE上的三等分点N，使3BN=BE，连接MN，NF，则DE∥MN，且DE=3MN，
因为AF∥DE，且DE=3AF，所以AF∥MN，且AF=MN，
故四边形AMNF是平行四边形． …（10分）
所以AM∥FN，
因为AM⊄平面BEF，FN⊂平面BEF，…（12分）
所以AM∥平面BEF． …（14分）
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