如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-23x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a>0）经过A、C两点，与x轴正半轴

Question

如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y=-(2)/(3)x+m（m为常数）的图象与x轴交于A（-3，0），与y轴交于点C．以直线x=-1为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，且a>0）经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B．

（1）求一次函数及抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上是否存在一点P，使得△PBC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标．
（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E，连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵y=-(2)/(3)x+m经过点A（-3，0），
∴0=2+m，解得m=-2，
∴直线AC解析式为y=-(2)/(3)x-2，
∴C（0，-2）．
∵抛物线y=ax²+bx+c对称轴为x=-1，且与x轴交于A（-3，0），
∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵抛物线经过 C（0，-2），∴-2=a•3×（-1），解得a=(2)/(3)，
∴抛物线解析式为y=(2)/(3)x²+(4)/(3)x-2；
（2）要使△PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如图1，

连接AC交x=-1于P点，因为点A、B关于x=-1对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，-2），
∴直线AC解析式为y=-(2)/(3)x-2，
∵x_P=-1，∴y_P=-(4)/(3)，即P（-1，-(4)/(3)）．
（3）如图2，

∵设CD的长为m，△PDE的面积为S
∴D（0，m-2），
∵DE‖PC，直线AC解析式为y=-(2)/(3)x-2，
∴设直线DE解析式：y=-(2)/(3)x+m-2，
当y=0时，x=(3)/(2)m-3，
∴E（(3)/(2)m-3，0）
S_△PDE=S_△AOC-S_△DOE-S_△PDC-S_△PEA
=3-(1)/(2)×(3)/(2)m×(4)/(3)-(1)/(2)×（3-(3)/(2)m）×（2-m）-(1)/(2)×m×1
=-(3)/(4)m²+(3)/(2)m
=-(3)/(4)（m-1）²+(3)/(4)
∴当m=1时有最大值(3)/(4)．