如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=-43（x-2）2+k过点A．（1）求k的值；（2）若把抛物线y=-43（x-2）2+k沿x轴向左平移m个单位长度，

Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A（3，4），C在x轴的负半轴，抛物线y=-(4)/(3)（x-2）²+k过点A．

（1）求k的值；
（2）若把抛物线y=-(4)/(3)（x-2）²+k沿x轴向左平移m个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱形OABC的顶点C．试判断点B是否落在平移后的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

（1）∵y=-(4)/(3)(x-2)2+k经过点A（3，4），
∴-(4)/(3)×(3-2)2+k=4，
解得：k=(16)/(3)；
（2）如图所示，设AB与y轴交于点D，则AD⊥y轴，AD=3，OD=4，OA=√(AD2+OD2)=√(32+42)=5．

∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OC=5，BD=AB-AD=2，
∴B（-2，4）．
令y=0，得-(4)/(3)(x-2)2+(16)/(3)=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴抛物线y=-(4)/(3)(x-2)2+(16)/(3)与x轴交点为O（0，0）和E（4，0），OE=4，
当m=OC=5时，平移后的抛物线为y=-(4)/(3)(x+3)2+(16)/(3)，
令x=-2得，y=-(4)/(3)(-2+3)2+(16)/(3)=4，
∴点B在平移后的抛物线y=-(4)/(3)(x+3)2+(16)/(3)上；
当m=CE=9时，平移后的抛物线为y=-(4)/(3)(x+7)2+(16)/(3)，
令x=-2得，y=-(4)/(3)(-2+7)2+(16)/(3)≠4，
∴点B不在平移后的抛物线y=-(4)/(3)(x+7)2+(16)/(3)上．
综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上．