如图1，在平面直角坐标系中，P（2，2），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA=PB．（1）求证：PA⊥PB；（2）若点A（8，0），求点B的坐标；（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA-OB的值

Question

如图1，在平面直角坐标系中，P（2，2），点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且PA=PB．
（1）求证：PA⊥PB；
（2）若点A（8，0），求点B的坐标；
（3）当点B在y轴负半轴上运动时，求OA-OB的值；
（4）如图2，若点B在y轴正半轴上运动时，直接写出OA+OB的值．

Answer 1

（1）证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
∵P（2，2），
∴PE=PF=2，
在Rt△APE和Rt△BPF中，

PA＝PB

PE＝PF

，
∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），
∴∠APE=∠BPF，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=∠BPF+∠BPE=∠EPF=90°，
∴PA⊥PB；

（2）易得四边形OEPF是正方形，
∴OE=OF=2，
∵A（8，0），
∴OA=8，
∴AE=OA-OE=8-2=6，
∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF=6，
∴OB=BF-OF=6-2=4，
∴点B的坐标为（0，-4）；

（3）∵Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OB+OF=OB+2，
∴OA-2=OB+2，
∴OA-OB=4；

（4）如图2，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，
同（1）可得，Rt△APE≌Rt△BPF，
∴AE=BF，
∵AE=OA-OE=OA-2，
BF=OF-OB=2-OB，
∴OA-2=2-OB，
∴OA+OB=4．