已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,直线x-y+1=0经过椭圆C的上顶点,直线x=-1与椭圆相交于AB两点,P是椭圆上异!于AB的任意一点,直线APBP分别交定直线l:x=-4于两点QR,1,求椭圆c的方程,2,求证

Question

已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,直线x-y+1=0经过椭圆C的上顶点,直线x=-1与椭圆相交于A B 两点,P是椭圆上异!于A B的任意一点,直线AP BP分别交定直线l:x=-4于两点Q R ,1,求椭圆c的方程,2,求证向量OQ×向量OR为定值

Answer 1

作椭圆x²/a²＋y²/b²=1的右准线,过点A、B分别引右准线的垂线,垂足分别是D、C,过点A作BC的垂线,垂足是H.设FB=t,则FA=3t,由椭圆第二定理,得：AD=3t/e,BC=t/e,则BH=2t/e,在直角三角形ABH中,AB=4t,BH=2t/e=4t/√3,所以AH=(4√6t)/3,则tan(∠ABH)=AH/BH=√2,即直线AB的斜率k=√2.