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如图数表:a11a12…a1na21a22…a2n…………an1an2…ann,每一行都是首项为1的等差数列,第m行的公差为dm,且每一列也是等差数列,设第m行的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3,n∈N*).(1)
题目详情
如图数表:
,每一行都是首项为1的等差数列,第m行的公差为dm,且每一列也是等差数列,设第m行的第k项为amk(m,k=1,2,3,…,n,n≥3,n∈N*).
(1)证明:d1,d2,d3成等差数列,并用m,d1,d2表示dm(3≤m≤n);
(2)当d1=1,d2=3时,将数列{dm}分组如下:
(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{2cmdm}的前n项和Sn;
(3)在(2)的条件下,设N是不超过20的正整数,当n>N时,求使得不等式
(Sn-6)>dn恒成立的所有N的值.
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(1)证明:d1,d2,d3成等差数列,并用m,d1,d2表示dm(3≤m≤n);
(2)当d1=1,d2=3时,将数列{dm}分组如下:
(d1),(d2,d3,d4),(d5,d6,d7,d8,d9),…(每组数的个数构成等差数列).设前m组中所有数之和为(cm)4(cm>0),求数列{2cmdm}的前n项和Sn;
(3)在(2)的条件下,设N是不超过20的正整数,当n>N时,求使得不等式
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵每一行都是首项为1的等差数列,
∴a1n=1+(n-1)d1,a2n=1+(n-1)d2,a3n=1+(n-1)d3.
∵每一列也是等差数列,∴2a2n=a1n+a3n,
∴2+2(n-1)d2=1+(n-1)d1+1+(n-1)d3,即2d2=d1+d3
∴d1,d2,d3成等差数列.
∵amn=1+(n-1)dm,
amn=a1n+(m-1)(a2n-a1n)=a1n+(m-1)(a2n-a1n)=1+(n-1)d1+(m-1)(n-1)(d2-d1),
∴1+(n-1)dm=1+(n-1)d1+(m-1)(n-1)(d2-d1)
化简得dm=(2-m)d1+(m-1)d2.
(2)当d1=1,d2=3时,dm=2m-1(m∈N*),
按数列{dm}分组规律,第m组中有2m-1个数,
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m2个数.
则前m组的所有数字和为
•m2=m4,
∴(cm)4=m4,∵cm>0,∴cm=m,
从而 2cmdm=(2m-1)•2m,m∈N*,
∴Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
∴2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1,
∴-Sn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)×2n+1=2+23(2n-1-1)-(2n-1)×2n+1=(3-2n)×2n+1-6.
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6.
(3)由
(Sn-6)>dn得(2n-3)•2n+1>50(2n-1).
令an=(2n-3)•2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100.
∴当n≤5时,an<0,当n≥6时,an>0,
所以,满足条件的所有正整数N=5,6,7,8,…,20.
∴a1n=1+(n-1)d1,a2n=1+(n-1)d2,a3n=1+(n-1)d3.
∵每一列也是等差数列,∴2a2n=a1n+a3n,
∴2+2(n-1)d2=1+(n-1)d1+1+(n-1)d3,即2d2=d1+d3
∴d1,d2,d3成等差数列.
∵amn=1+(n-1)dm,
amn=a1n+(m-1)(a2n-a1n)=a1n+(m-1)(a2n-a1n)=1+(n-1)d1+(m-1)(n-1)(d2-d1),
∴1+(n-1)dm=1+(n-1)d1+(m-1)(n-1)(d2-d1)
化简得dm=(2-m)d1+(m-1)d2.
(2)当d1=1,d2=3时,dm=2m-1(m∈N*),
按数列{dm}分组规律,第m组中有2m-1个数,
所以第1组到第m组共有1+3+5+…+(2m-1)=m2个数.
则前m组的所有数字和为
1+(2m2-1) |
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∴(cm)4=m4,∵cm>0,∴cm=m,
从而 2cmdm=(2m-1)•2m,m∈N*,
∴Sn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
∴2Sn=1×22+3×23+…+(2n-1)×2n+1,
∴-Sn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)×2n+1=2+23(2n-1-1)-(2n-1)×2n+1=(3-2n)×2n+1-6.
∴Sn=(2n-3)•2n+1+6.
(3)由
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令an=(2n-3)•2n+1-50(2n-1)=(2n-3)(2n+1-50)-100.
∴当n≤5时,an<0,当n≥6时,an>0,
所以,满足条件的所有正整数N=5,6,7,8,…,20.
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