如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．（1）求异面直线D1E与A1D所成的角；（2）若二面角D1-EC-D的大小为45°，求直线BC1与面D1EC所成的角的正切．．

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上．
（1）求异面直线D₁E与A₁D所成的角；
（2）若二面角D₁-EC-D的大小为45°，求直线BC₁与面D₁EC所成的角的正切．．

Answer 1

（1）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则D₁（0，0，1），设E（1，t，0），0≤t≤2，
A₁（1，0，1），D（0，0，0），C（0，2，0）

D1E

=（1，t，-1），

A1D

=（-1，0，-1），
cos＜

D1E

，

A1D

＞=(−1+0+1)/(√(3)•√(2))=0，
∴异面直线D₁E与A₁D所成的角为90°．
（2）

D1E

=（1，t，-1），

作业帮用户 2017-11-07

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问题解析

（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线D₁E与A₁D所成的角．
（2）求出平面D₁EC的法向量

D1C

n

=（√(3)，1，2），由此利用向量法能求出直线BC₁与面D₁EC所成的角的正切．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．

考点点评：

本题考查异面直线所成的角的求法，考查直线与平面所成角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

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