已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，且∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，求AC1的长．

Question

已知在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=AA₁=1，且∠BAD=∠BAA₁=∠DAA₁=60°，求AC₁的长．

Answer 1

过A₁作A₁O⊥平面AC，O为垂足．…．（1分）
∵∠BAA₁=∠DA A₁，AB=AD，ABCD为菱形
∴O在∠BAD的角平分线，即AC上…（3分）
∵cos∠BAA₁=cos∠BAC•cos∠OAA₁∴cos∠OAA₁=(1)/(2)×(2)/(√(3))=(√(3))/(3)…（5分）
连A₁C₁则AA₁C₁C为平行四边形，∴cos∠AA₁C₁=-(√(3))/(3)…..（6分）
在三角形A₁B₁C₁中，A₁C₁²=A₁B₁²+C₁B₁²-2A₁B₁•C₁B₁cos∠A₁B₁C₁=3…（8分）
∴AC₁=√(AA21+A1C21-2AA1•C1A1cos∠AA1C1)=√(1+3-2•1•√(3)•(-(√(3))/(3)))=√(6)…（10分）