Cn=2n/2的n次方,求C1+C3+C5+.+C2n-1

Question

Cn=2n/2的n次方,求C1+C3+C5+.+C2n-1

Answer 1

设 S = C1 + C3 + C5 + .+ C2n-1
S= 2* [ 1* 2^(-1) + 3* 2^(-3) + 5 * 2^(-5) +...(2n-1)*2^(-2n+1) ]
等号两边同时乘 2^(-2)
1/4 *S =2*[ 1*2^(-3) + 3* 2^(-5) + ...(2n-3)*2^(-2n+1) +(2n-1)*2^(-2n-1)]
S 与 1/4 S 两式相减 得
S-1/4 S = 2*[1/2 + 2*2^(-3)+2*2^(-5)+...2*2^(-2n+1)-(2n-1)*2^(-2n-1)]
整理一下
3/4 S= 1-(2n-1)*2^(-2n) + 4*[ 2^(-3)+2^(-5)+...+ 2^(-2n+1)]
3/4 S= 1-(2n-1)*2^(-2n) + 4* 1/6 * [1-2^(-2n+2)]
S= 4/3- 1/3 * (2n-1)* 2^(-2n+2) + 8/9[1-2^(-2n+2)]
= 20/9 - 1/3 * (2n-1)* 2^(-2n+2) - 8/9 * 2^(-2n+2)
= 20/9 - 1/9 * (6n+5) * 2^(-2n+2)
检验一下 ：n=1 时 ,S= 1,C1= 1 (正确 ）
n=2 时,S= 7/4,C1+C3= 7/4 （正确 ）
n=3 时,S= 33/16,C1+C3+C5 = 33/4 （正确）
太繁琐了,难怪没有人愿意回答,
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