难设n个分别标有1,2,……n的球放入编有1,2,……n的n个盒子大神进设n个分别标有1,2,……n的球放入编有1,2,……n的n个盒子,以x表示球上数字与盒子号数相同的个数.问是否有以下结论成

Question

【难】设n个分别标有1,2,……n的球放入编有1,2,……n的n个盒子【大神进】
设n个分别标有1,2,……n的球放入编有1,2,……n的n个盒子,以x表示球上数字与盒子号数相同的个数.问是否有以下结论成立：x的期望和方差均等于1.
请给出证明过程.

Answer 1

设一共k个盒子,k个盒子中中号数完全不同的概率为Ak,则对于题中情况,设pk为P(X=k),则pk=n!/k!(n-k)!*(n-k)!*A(n-k)/n!=A(n-k)/k!,则期望=Σk*pk=ΣA(n-k)/（k-1）!,注意到A(n-k)/（k-1）!是将n改为n-1时的P(X=k-1),概率和是等于1的,也就是说ΣA(n-k)/（k-1）!=1,即期望=1.方差varX=E(X^2)-(EX)^2=Σk*(k-1)*pk+Σk*pk - 1=Σk*(k-1)*pk=ΣA(n-k)/（k-2）!,同上面的讨论,得到方差=1