如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m>0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．（1）求抛物线C1的

Question

如图，抛物线C₁：y=x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m>0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

Answer 1

（1）∵抛物线C₁经过原点，与X轴的另一个交点为（2，0），
∴

c=0

4+2b+c=0

，解得

b=-2

c=0

，
∴抛物线C₁的解析式为y=x²-2x，
∴抛物线C₁的顶点坐标（1，-1），
（2）如图1，

∵抛物线C₁向右平移m（m>0）个单位得到抛物线C₂，
∴C₂的解析式为y=（x-m-1）²-1，
∴A（m，0），B（m+2，0），C（0，m²+2m），
过点C作CH⊥对称轴DE，垂足为H，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠CDH+∠ADE=90°
∴∠HCD=∠ADE，
∵∠DEA=90°，
∴△CHD≌△DEA，
∴AE=HD=1，CH=DE=m+1，
∴EH=HD+DE=1+m+1=m+2，
由OC=EH得m²+2m=m+2，解得m₁=1，m₂=-2（舍去），
∴抛物线C₂的解析式为：y=（x-2）²-1．
（3）如图2，连接BC，BP，

由抛物线对称性可知AP=BP，
∵△PAC为等边三角形，
∴AP=BP=CP，∠APC=60°，
∴C，A，B三点在以点P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠CBO=(1)/(2)∠CPA=30°，
∴BC=2OC，
∴由勾股定理得OB=√(BC2-OC2)=√(3)OC，
∴√(3)（m²+2m）=m+2，
解得m₁=(√(3))/(3)，m₂=-2（舍去），
∴m=(√(3))/(3)．