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已知E是正方形ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量A1C1与DE所成角的余弦值.
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已知E是正方形ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量A1C1与DE所成角的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
取A1D1的中点F,连接EF、FD,这样A1C1//EF
所以向量A1C1与向量DE所成的角=向量FE与向量DE所成的角=∠DEF
设正方体棱长为1,很容易求得DE=√5/2,DF=√5/2,EF=√2/2,
在△DEF中,由斜弦定理可求得
cos∠DEF=(DE²+ EF²-DF²)/(2*DE*EF)=[(√5/2)²+(√2/2)²-(√5/2)²)]/[2*(√5/2)*(√2/2)]=√10/10,
故向量A1C1与向量DE所成角的余弦值为√10/10.
所以向量A1C1与向量DE所成的角=向量FE与向量DE所成的角=∠DEF
设正方体棱长为1,很容易求得DE=√5/2,DF=√5/2,EF=√2/2,
在△DEF中,由斜弦定理可求得
cos∠DEF=(DE²+ EF²-DF²)/(2*DE*EF)=[(√5/2)²+(√2/2)²-(√5/2)²)]/[2*(√5/2)*(√2/2)]=√10/10,
故向量A1C1与向量DE所成角的余弦值为√10/10.
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