设f（x）是定义在R上的函数，且g(x)=C0n•f(0n)•x0•(1-x)n+C1n•f(1n)•x•(1-x)n-1+C2n•f(2n)•x2•(1-x)n-2+…+Cnn•f(nn)•xn•(1-x)0（1）若f（x）=1，求g（x）；（2）若f（x）=x，求g（x

Question

设f（x）是定义在R上的函数，且g(x)=

C

0 n

 • f((0)/(n)) • x0 • (1-x)n+

C

1 n

 • f((1)/(n)) • x • (1-x)n-1+

C

2 n

 • f((2)/(n)) • x2 • (1-x)n-2+…+

C

n n

 • f((n)/(n)) • xn • (1-x)0
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x）=x，求g（x）．

Answer 1

（1）f（x）=1，则g（x）=C_n⁰（1-x）ⁿ+C_n¹•x•（1-x）^n-1+…+C_nⁿ•xⁿ•（1-x）⁰=（1-x+x）ⁿ=1
∵式子有意义，则x≠0且x≠1，
∴g（x）=1（x≠0且x≠1）
（2）f(x)=x，则 f((k)/(n))=(k)/(n)，
∴g(x)=

C

0 n

• 0+

C

1 n

• (1)/(n)x • (1-x)n-1+

C

2 n

• (2)/(n) • x2 • (1-x)n-2+…+

C

k n

• (k)/(n) • xk • (1-x)n-k+…+C_nⁿ•1•xⁿ•（1-x）⁰
又∵

C

k n

 • (k)/(n)=(k)/(n) • (n!)/((n-k)!k!)=((n-1)!)/((n-k)! • (k-1)!)=

C

k-1 n-1

g（x）=C_n-1⁰•x•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x²•（1-x）^n-2+C_n-1²•x³•（1-x）^n-3+…+C_n-1^k-1•x^k•（1-x）^n-k+…+C_n-1^n-2•x^n-1•（1-x）+xⁿ
=x•[C_n-1⁰•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x•（1-x）^n-2+…+C_n-1^n-2•x^n-2•（1-x）+C_n-1^n-1•x^n-1]
=x（1-x+x）^n-1
=x
故g（x）=x，且x≠0，x≠1