已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1=12，5Sn=7an-an-1+5Sn-1（n≥2）；等差数列{bn}，其中b3=2，b5=6，．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若cn=（bn+3）an，求数

Question

已知数列{a _n }的前n项和为S _n ，其中 a 1 =(1)/(2) ，5S _n =7a _n -a _n-1 +5S _n-1 （n≥2）；等差数列{b _n }，其中b ₃ =2，b ₅ =6，．
（1）求数列{a _n }的通项公式；
（2）若c _n =（b _n +3）a _n ，求数列{c _n }的前n项和T _n ．

Answer 1

（1）∵5S _n =7a _n -a _n-1 +5S _n-1 （n≥2）；
∴5S _n -5S _n-1 =7a _n -a _n-1 ，
∴2a _n =a _n-1 ， (an)/(an-1) =(1)/(2) ，
即数列{a _n }是公比q= (1)/(2) 的等比数列，
∵ a 1 =(1)/(2) ，∴ a n =(1)/(2) ((1)/(2) ) n-1 =(1)/(2n) ．
（2）在等差数列{b _n }，
∵b ₃ =2，b ₅ =6，
∴

b 1 +2d=2

b 1 +4d=6

，解得

b 1 =-2

d=2

，
∴b _n =-2+2（n-1）=2n-4，
∵c _n =（b _n +3）a _n ，
∴c _n =（b _n +3）a _n =（2n-1） •(1)/(2n)
∴

T n =1×(1)/(2) +3×(1)/(22) +5×(1)/(23) +…+(2n-1)×(1)/(2n)

(1)/(2) T n =1×(1)/(22) +3×(1)/(23) +…+(2n-3)×(1)/(2n) +(2n-1)×(1)/(2n+1)

，
两式作差得：
∴ (1)/(2) T n =(1)/(2) +2×((1)/(22) +(1)/(23) +…+(1)/(2n) )-(2n-1)×(1)/(2n+1) = (1)/(2) +(2×(1)/(22)[1- ((1)/(2))n-1 ])/(1-(1)/(2)) -(2n-1)×(1)/(2n+1) ，
∴ T n =3-(2n+3)/(2n) ．