数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}为等差数列，且b3=3，b5=7．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）若对任意的n∈N*，(Sn+12)•k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+1，数列{b_n}为等差数列，且b₃=3，b₅=7．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的n∈N*，(Sn+(1)/(2))•k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（I）对于数列数列{a_n}，∵a_n+1=2S_n+1，∴n≥2时，a_n=2S_n-1+1，∴a_n+1-a_n=2a_n，化为a_n+1=3a_n，当n=1时，a₂=2a₁+1=3，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为1，
∴a_n=3^n-1．
设等差数列{b_n}的公差为d，∵b₃=3，b₅=7，∴

b1+2d=3

b1+4d=7

，解得b₁=-1，d=2．
∴b_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（II）由（I）可得：S_n=(3n-1)/(3-1)=(1)/(2)(3n-1)，
∴n∈N*，(Sn+(1)/(2))•k≥bn，化为：(1)/(2)×3n•k≥2n-3，
化为：k≥(4n-6)/(3n)，
令f（n）=(4n-6)/(3n)，则f（n+1）=(4n+2)/(3n+1)，
∴f（n）-f（n+1）=(4n-6)/(3n)-(4n+2)/(3n+1)=(12n-18-(4n-6))/(3n+1)=(8n-20)/(3n+1)，
可知：n≤2时，f（n）<f（n+1）；n≥3时，f（n）>f（n+1）．
∴n=3时，f（n）取得最大值为(12-6)/(33)=(2)/(9)．
∴k≥(2)/(9)．
∴实数k的取值范围是[(2)/(9)，+∞)．