已知各项均不为零的数列{an}，其前n项和Sn满足Sn=2-an；等差数列{bn}中b1=4，且b2-1是b1-1与b4-1的等比中项（Ⅰ）求an和bn，（Ⅱ）记cn＝bnan，求{cn}的前n项和Tn．

Question

已知各项均不为零的数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n=2-a_n；等差数列{b_n}中b₁=4，且b₂-1是b₁-1与b₄-1的等比中项
（Ⅰ）求a_n和b_n，
（Ⅱ）记cn＝(bn)/(an)，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）对于数列{a_n}，由题意知S_n=2-a_n，①
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得S_n-S_n-1=-a_n+a_n+1（n≥2），
即a_n=-a_n+a_n-1，
∴2a_n=a_n-1（n≥2），
∵a_n≠0，∴(an)/(an−1)＝(1)/(2)，（n≥2）
∵a₁=2-a₁，∴a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，(1)/(2)为公比的等比数列，
∴an＝((1)/(2))n−1．
设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=4，且b₂-1是b₁-1与b₄-1的等比中项，
b₁=4，b₂=4+d，b₃=4+3d，
∴（3+d）²=3（3+d），
解得d=0，或d=3．
当d=0时，b_n=4；当d=3时，b_n=3n+1．
（Ⅱ）当b_n=4时，cn＝(bn)/(an)=（3n1）•2^n-1，
∴Tn＝(4(1−2n))/(1−2)=2ⁿ⁺²-4．
当b_n=3n+1时，Cn＝(bn)/(an)=（3n+1）•2ⁿ，
Tn＝4•20+7•2+10•22+…+(3n+1)•2^n-1，③
2T_n=4•2+7•2²+10•2³+…+（3n+1）•2ⁿ，④
③-④得-T_n=4+3（2+2²+…+2^n-1）-（3n+1）•2ⁿ
=4+3•(2(1−2n−1))/(1−2)-（3n+1）•2ⁿ
=4+2•2ⁿ-6-（3n+1）•2ⁿ
=（2-3n）•2ⁿ-2，
∴T_n=2+（3n-2）•2ⁿ．
综上：b_n=4时，Tn ＝2n+2−4；
b_n=3n+1时，Tn＝2+(3n−2)•2n．