已知数列{bn}（n∈N*）是递增的等比数列，且b1+b3=5，b1b3=4．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若数列{an}的通项公式是an=n+2，数列{anbn}的前n项和为Sn，求Sn．

Question

已知数列{b_n}（n∈N^*）是递增的等比数列，且b₁+b₃=5，b₁b₃=4．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的通项公式是a_n=n+2，数列{a_nb_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

（1）由 且b₁+b₃=5，b₁b₃=4． 知b₁，b₃是方程x²-5x+4=0的两根b₁，b₃
注意到b_n+1＞b_n得b₁=1，b₃=4．…（2分）
∴b₂²=b₁b₃=4得b₂=2．∴b₁=1，b₂=2，b₃=4
等比数列{b_n}的公比为(b2)/(b1)＝2，∴b_n=b₁q^n-1=2^n-1…（4分）
（2）a_nb_n=（n+2）.2^n-1
所以S_n=3.2⁰+4.2¹+5.2²+…+（n+2）.2^n-1，…（6分）
2S_n=3.2¹+4.2²+5.2³+…+（n+2）.2ⁿ，…（8分）
两式相减得-S_n=3.2⁰+2¹+2²+…+2^n-1-（n+2）.2ⁿ，
=3+(2(1−2n−1))/(1−2)−(n+2).2n
所以S_n=（n+1）.2ⁿ-1．…（12分）