在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，求证：（1）MN∥平面CC1D1D．（2）平面MNP∥平面CC1D1D．

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是AD₁、BD和B₁C的中点，求证：
（1）MN∥平面CC₁D₁D．
（2）平面MNP∥平面CC₁D₁D．

Answer 1

证明：（1）连接AC，CD₁，
∵ABCD是正方形，N是BD中点，
∴N是AC中点，
又∵M是AD₁中点，
∴MN∥CD₁，
∵MN⊊平面CC₁D₁D，CD₁⊂平面CC₁D₁D，
∴MN∥平面CC₁D₁D；
（2）连接BC₁，C₁D，
∵B₁BCC₁是正方形，P是B₁C的中点，
∴P是BC₁中点，
又∵N是BD中点，
∴PN∥C₁D，
∵PN⊊平面CC₁D₁D，CD₁⊂平面CC₁D₁D，
∴PN∥平面CC₁D₁D，
由（1）得MN∥平面CC₁D₁D，且MN∩PN=N，
∴平面MNP∥平面面CC₁D₁D．