设数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a1=3，a2+a3=36．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}对任意的正整数n都有b1a1+b2a2+b3a3+…+bnan=2n+1，求b1+b2+b3+…+b2015的值．

Question

设数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=3，a₂+a₃=36．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}对任意的正整数n都有(b1)/(a1)+(b2)/(a2)+(b3)/(a3)+…+(bn)/(an)=2n+1，求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}的公比为q>0，∵a₁=3，a₂+a₃=36．
∴3（q+q²）=36，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵数列{b_n}对任意的正整数n都有(b1)/(a1)+(b2)/(a2)+(b3)/(a3)+…+(bn)/(an)=2n+1，
∴当n=1时，(b1)/(a1)=3，解得b₁=9．
当n≥2时，(b1)/(a1)+(b2)/(a2)+(b3)/(a3)+…+(bn-1)/(an-1)=2n-1，
∴(bn)/(an)=2，∴b_n=2a_n=2×3ⁿ．
∴b_n=

9，n=1

2×3n，n≥2

．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅=9+2（3²+3³+…+3²⁰¹⁵）
=3+(2×3(32015-1))/(3-1)
=3²⁰¹⁶．