有一正整数列1，2，3，…，2n-1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．求|a1-b1|+|a2-b2|+…+|an-bn|之所有可能的值．

Question

有一正整数列1，2，3，…，2n-1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a₁，a₂，…，a_n，另n个数从小到大排列依次为b₁，b₂，…，b_n．求|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_n-b_n|之所有可能的值．

Answer 1

令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．
设a_i中必也有n-k个小数，则b_i中必有n-k个大数，k个小数，
其中i=1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z
令：a₁，a₂，…，a_k，b_k+1，b_k+2，…，b_n为大数，
b₁，b₂，…，b_k，a_k+1，a_k+2，…，a_n为小数．故|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_n-b_n|
=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+…+|a_k-b_k|+|a_k+1-b_k+1|+|a_k+2-b_k+2|+…+|a_n-b_n|
=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+…+（a_k-b_k）+（b_k+1-a_k+1）+（b_k+2-a_k+2）+…+（a_n-b_n）
=（（n+1）+（n+2）+…+（2n））-（1+2+3+…+n）
=n²．