如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D为AC的中点，点D1是A1C1上的一点，若BC1∥平面AB1D1，则A1D1D1C1等于（）A.12B.1C.2D.3

Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D为AC的中点，点D₁是A₁C₁上的一点，若BC₁∥平面AB₁D₁，则(A1D1)/(D1C1)等于（　　）
A. (1)/(2)
B. 1
C. 2
D. 3

Answer 1

若BC₁∥平面AB₁D₁，则(A1D1)/(D1C1)=1．如图所示：
①当D₁点满足(A1D1)/(D1C1)=1时，由平行四边形ADC₁D₁可得DC₁∥AD₁，∵DC₁⊄平面AB₁D₁，AD₁⊂平面AB₁D₁，∴DC₁∥平面AB₁D₁．
同理DB∥平面AB₁D₁，又∵DB∩DC₁=D，∴平面BDC₁∥平面AB₁D₁．可得BC₁∥平面AB₁D₁，满足已知条件．
②假设点D₁不是线段A₁C₁的中点而满足已知条件BC₁∥平面AB₁D₁，则可取线段A₁C₁的中点E，由（1）可知：平面BC₁D∥平面AB₁E，
∴平面AB₁D₁∥平面AB₁E，这与平面AB₁D₁∩平面AB₁E相矛盾，因此假设不成立，故点D₁是线段A₁C₁的中点．
故选B．