设f（x）在[0，+∞）上连续且单调减少，试证明对任何b＞a＞0，皆有：∫baxf（x）dx≤12[b∫b0f（x）dx-a∫a0f（x）dx]．

Question

设f（x）在[0，+∞）上连续且单调减少，试证明对任何b＞a＞0，皆有：

∫

b a

xf（x）dx≤(1)/(2)[b

∫

b 0

f（x）dx-a

∫

a 0

f（x）dx]．

Answer 1

令F(u)＝

∫

u a

xf(x)dx−(1)/(2)[u

∫

u 0

f(x)dx−a

∫

a 0

f(x)dx]（a＞0），
则由f（x）在[0，+∞）上的连续性可得，
F（u）在[0，+∞）上可导．
对F（u）求导可得：
当u＞0时，F′(u)＝uf(u)−(1)/(2)

∫

u 0

f(x)dx−(1)/(2)uf(u)=(1)/(2)uf(u)−(1)/(2)

∫

u 0

f(x)dx=(1)/(2){

∫

u 0

[f(u)−f(x)]dx}．
因为f（x）在[0，+∞）上单调减少，
所以，当u＞x时，f（u）-f（x）≤0，
所以，F′(u)＝(1)/(2){

∫

u 0

[f(u)−f(x)]dx}≤0
从而，F（u）在[0，+∞）上是单调减少的，
于是当b＞a＞0时，有：
F（b）≤F（a）=0，
即：

∫

b a

xf(x)dx≤(1)/(2)[b

∫

b 0

f(x)dx−a

∫

a 0

f(x)dx]．