如图在等腰Rt△A0B0C0中，A0（0，0）、C0（-12，0），B0C0⊥A0C0且B0C0=A0C0，以点P（9，0）为圆心，PO为半径的作⊙P，△A0B0C0以每秒钟一个单位的速度沿x轴向右移动，移动时间记为t秒，移动的三角

题目详情

如图在等腰Rt△A₀B₀C₀中，A₀（0，0）、C₀（-12，0），B₀C₀⊥A₀C₀且B₀C₀=A₀C₀，以点P（9，0）为圆心，PO为半径的作⊙P，△A₀B₀C₀以每秒钟一个单位的速度沿x轴向右移动，移动时间记为t秒，移动的三角形记为△ABC．（点A₀对应A，点B₀对应B，点C₀对应C）
（1）如图，若点A为⊙P与x轴的另一个交点，BO交⊙P于D，AD交BC于E．
①求证：AE=BO；
②过C作CM⊥AE于M，交AB于N，求证：∠AEC=∠BEN；
（2）若F为AB边上的点，且AF=8

，若线段AF与⊙P有且只有一个公共点，求t的取值范围．

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：如图1，
∵OA是⊙P的直径，
∴∠ODA=90°，即∠DOA+∠DAO=90°．
∵∠BCA=90°，即∠BOC+∠OBC=90°．
∴∠DAO=∠OBC．
在△OCB和△ECA中，

∠OBC＝∠EAC

BC＝AC

∠OCB＝∠ECA

．
∴△OCB≌△ECA．
∴BO=AE．

（2）证明：如图2，
∵A₀（0，0）、C₀（-12，0），∴A₀C₀=12．
∴BC=AC=A₀C₀=12．
∴AB=

BC2+CA2

=12

．
∵点P的坐标为（9，0），
∴OA=2OP=18．

∴OC=6．
∵△OCB≌△ECA，
∴OC=EC=6．
∴BE=6．
∵CM⊥AE，即∠AMC=90°，∠ODA=90°，
∴∠AMC=∠ODA．
∴CN∥OB．
∴△ACN∽△AOB．
∴

．
∴AN=8

．
∴BN=4

．
∵