设有曲线Y=a+x-x^3,其中a0时,该曲线在x轴下方与y轴,x轴所围图形的面积和在x轴上方与x轴所围图形的面积相等,求a的值?

Question

设有曲线Y=a+x-x^ 3,其中a0时,该曲线在x轴下方与y轴,x轴所围图形的面积和在x轴上方与x轴所围图形的面积相等,求a的值?

Answer 1

首先对Y进行求导,Y'=1-3X,得到Y=a+x-x^ 3的图像如下：
而S1= - 「X1
               |     （a+x-x^3）dx (这是定积分的几何意义,∫f（x）dx表示曲线面积)
              」0 
    
   S2= 「X2
            |     （a+x-x^3）dx          
           」X1 
由S1=S2可知,
「X1                          「 X2 
  |     （a+x-x^3）dx +  |         （a+x-x^3）dx    =0
 」0                            」X1 
即 
「X2
  |     （a+x-x^3）dx    =0      
 」0
得
a*X2+1/2*X2^2-1/4*X2^4=0----------------------(1)
有因为
X2是a+x-x^ 3=0的根,且X2>0
故 a+X2-X2^ 3=0---------------(2)
由（1）（2）可以解得：a= -6^(1/2)/9