线性代数矩阵A满足A*=A^T,如a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为多少?由AA*=|A|E及已知A*=A^T,有AA^T=|A|E则有(1)|A|=a11^2+a12^2+a13^2=3a11^2(2)|A|^2=|AA^T|=||A|E|=|A|^3所以,当a11=0时,由(1)

Question

线性代数
矩阵A满足A*=A^T,如a11,a12,a13为三个相等的正数,则a11为多少?
由 AA* = |A|E 及已知 A*=A^T,有 AA^T = |A|E
则有(1) |A| = a11^2 + a12^2 + a13^2 = 3a11^2
(2) |A|^2 = | AA^T | = | |A|E | = |A|^3
所以,当 a11 = 0 时,由(1)得 |A| = 0,再由(2)得 |A| = 1.代入(1) 即可解得a11 = 根号3分之一
综上有 a11= 0 或 a11 = 根号3分之一
请问第二个括号怎么得的?即 |A|^2 = | AA^T | = | |A|E | = |A|^3

Answer 1

|A|^2=|A||A| 没问题吧?
|A|=|A|T没问题吧?
|A||A|T=|AAT|没问题吧?
AAT=|A|E没问题吧?
|E|=1,||A||=|A|^n n为A的阶数
所以
|A|^2 =|A||A|=|A||A|T =| AA^T | = ||A|E| = |A|^3
用到的公式
1.|A|=|A|T
2.AAT=|A|E
3.|AB|=|A|*|B|
4.|aB|=a^n|B| n为阶数