已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（n∈N*）（Ⅰ）若a1+a2+a3+…+an-1=29-n，求n的值；（Ⅱ）求a3（用n表示）．

Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*）
（Ⅰ）若a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=29-n，求n的值；
（Ⅱ）求a₃（用n表示）．

Answer 1

（Ⅰ）在（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ中，
令x=0，可得a₀=n，易得a_n=1．
再令x=1，可得2+2²+2³+…+2ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1 +a_n=n+1+a₁+a₂+a₃+…+a_n-1 ，
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2+2²+2³+…+2ⁿ-n-1=(2(1−2n))/(1−2)-n-1=2ⁿ⁺¹-n-3．
再根据2+2²+2³+…+2ⁿ=29-n，可得 2ⁿ⁺¹-n-3=29-n，求得n=4．
（Ⅱ）由所给的等式可得 a₃=

C

3 3

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

=((n+1)•n•(n−1)•(n−2))/(4×3×2×1)=((n+1)•n•(n−1)•(n−2))/(24)