a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3(1);求数列an的通项公式(2);设bn=n/an,求bn的前n项和Sn说明：3a2表示a2乘以3,3^2a3表示3的二次方乘以a3.

Question

a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-1)an=n/3
(1);求数列an的通项公式
(2);设bn=n/an,求bn的前n项和Sn
说明：3a2表示a2乘以3,3^2a3表示3的二次方乘以a3.

Answer 1

呵呵,估计你是一个高三的学生吧?而且高三第一轮复习现在估计刚刚复习到数列这里的样子.
其实这个题目很简单的,下面我给出这个题的解题过程：
因为
a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-2)[an-1]+3^(n-1)an=n/3……（1）
这把这个公式的n变成n-1,就可以得到下面这个式子：
a1+3a2+3^2a3+……+3^(n-2)[an-1]=(n-1)/3……（2）
（注：[an-1]表示第n-1项）
那么我只要把（1）－（2）就可以得到：
3^(n-1)an=n/3－(n-1)/3＝1/3
所以马上就可以得到
an=3^(-n)
这里不好写出来,也就是3的n次方分之一
对于第（2）问,bn=n/an=n×3^n
Sn=1*3^1+2*3^2+...+n*3^n……（3）
那么我将（3）的两边都乘以3
3Sn=1*3^2+2*3^3+...+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)……（4）
我把（3）－（4）得：
-2Sn=(1*3^1+1*3^2+1*3^3+...+1*3^n)- n*3^(n+1)
你可以发现上式中的小括号里的部分刚好是一个首项为3,公比为3的,一共有n项的等比数列.
中间的过程和结果我就不写出来了,你应该知道做了.