已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{1Sn}的前n项和为Tn．

Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{(1)/(Sn)}的前n项和为T_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}是等差数列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①
∵a₂，a₇，a₂₂成等比数列，
∴a72=a₂•a₂₂，即(a1+6d)2=（a₁+d）（a₁+21d）．②
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去）．
∴a_n=4n+2．
（2）证明；由（1）得S_n=2n²+4n，
∴(1)/(Sn)=(1)/(2n2+4n)=(1)/(4)（(1)/(n)-(1)/(n+2)）．
∴T_n=(1)/(S1)+(1)/(S2)+(1)/(S3)+…+(1)/(Sn−1)+(1)/(Sn)
=(1)/(4)[（1-(1)/(3)）+（(1)/(2)-(1)/(4)）+（(1)/(3)-(1)/(5)）+…+（(1)/(n−1)-(1)/(n+1)）+（(1)/(n)-(1)/(n+2)）]
=(3)/(8)-(1)/(4)（(1)/(n+1)+(1)/(n+2)）．