若a1＞0，a1≠1，an+1=2an1+an（n=1，2，…）（1）求证：an+1≠an；（2）令a1=12，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an；（3）证明：存在不等于零的常数p，使{an+Pan}是等比数

Question

若a₁＞0，a₁≠1，a_n+1=(2an)/(1+an)（n=1，2，…）
（1）求证：a_n+1≠a_n；
（2）令a₁=(1)/(2)，写出a₂、a₃、a₄、a₅的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a_n；
（3）证明：存在不等于零的常数p，使{(an+P)/(an)}是等比数列，并求出公比q的值．

Answer 1

（1）采用反证法．若a_n+1=a_n，即(2an)/(1+an)=a_n，解得 a_n=0或1，
从而a_n=a_n1=…a₂=a₁=0或1与题设a₁＞0，a₁≠1相矛盾，故a_n+1≠a_n成立．
（2）a₁=(1)/(2)，a₂=(2)/(3)，a₃=(4)/(5)，a₄=(8)/(9)，a₅=(16)/(17)，a_n=(2n−1)/(2n−1+1)．
（3）因为(an+1+p)/(an+1)=((2+p)an+p)/(2an)，又(an+1+p)/(an+1)=(an+p)/(an)q，
所以（2+p-2q）a_n=p（2q-1），
因为上式是关于变量a_n的恒等式，故可解得q=(1)/(2)、p=-1．