观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为an（n≥2，n∈N），（1）依次写出第六行的所有6个数字；（2）归纳出an+1与an的关系式，并利用递推关系式求出an的通项公式（可以不证明）．

Question

观察下列三角形数表，假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N），

（1）依次写出第六行的所有6个数字；
（2）归纳出a_n+1与a_n的关系式，并利用递推关系式求出a_n的通项公式（可以不证明）．

Answer 1

（1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，
得到第六行的所有6个数字分别为：6，16，25，25，16，6．
（2）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，…，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=((n-2)(n+1))/(2)，
则a_n=(1)/(2)(n2-n+2)，
当n=2时a₂=(1)/(2)×2²-(1)/(2)×2+1=2，也满足上述等式，
所以a_n=(1)/(2)(n2-n+2)（n≥2，n∈N）．