已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3是a1和a9的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn=1(n+1)an，Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数m，使得Sn<m对于任意的n∈N+恒成立？若存在

Question

已知在递增等差数列{a_n}中，a₁=2，a₃是a₁和a₉的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=(1)/((n+1)an)，S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数m，使得S_n<m对于任意的n∈N₊恒成立？若存在，请求实数m的取值范围，若不存在，试说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由{a_n}为等差数列，设公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，
∵a₃是a₁和a₉的等比中项，
∴

a

2 3

=a₁•a₉，即（2+2d）²=2（2+8d），
解得d=0（舍）或d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（Ⅱ）存在m≥(1)/(2)．
b_n=(1)/((n+1)an)=(1)/(2)((1)/(n)-(1)/(n+1))，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=(1)/(2)[(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(n)-(1)/(n+1))]=(1)/(2)(1-(1)/(n+1))<(1)/(2)，
∴存在实数m≥(1)/(2)，使得S_n<m对于任意的n∈N₊恒成立．