若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，则称{an}具有性质P．（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是

Question

若无穷数列{a_n}满足：只要a_p=a_q（p，q∈N^*），必有a_p+1=a_q+1，则称{a_n}具有性质P．
（1）若{a_n}具有性质P，且a₁=1，a₂=2，a₄=3，a₅=2，a₆+a₇+a₈=21，求a₃；
（2）若无穷数列{b_n}是等差数列，无穷数列{c_n}是公比为正数的等比数列，b₁=c₅=1；b₅=c₁=81，a_n=b_n+c_n，判断{a_n}是否具有性质P，并说明理由；
（3）设{b_n}是无穷数列，已知a_n+1=b_n+sina_n（n∈N^*），求证：“对任意a₁，{a_n}都具有性质P”的充要条件为“{b_n}是常数列”．

Answer 1

（1）∵a₂=a₅=2，∴a₃=a₆，
a₄=a₇=3，∴a₅=a₈=2，a₆=21-a₇-a₈=16，∴a₃=16．
（2）设无穷数列{b_n}的公差为：d，无穷数列{c_n}的公比为q，则q>0，
b₅-b₁=4d=80，
∴d=20，∴b_n=20n-19，(c5)/(c1)=q⁴=(1)/(81)，∴q=(1)/(3)，∴c_n=((1)/(3))n-5
∴a_n=b_n+c_n=20n-19+((1)/(3))n-5．
∵a₁=a₅=82，
而a₂=21+27=48，a₆=101+(1)/(3)=(304)/(3)．a₁=a₅，但是a₂≠a₆，{a_n}不具有性质P．
（3）充分性：若{b_n}是常数列，
设b_n=C，则a_n+1=C+sina_n，
若存在p，q使得a_p=a_q，则a_p+1=C+sina_p=C+sina_q=a_q+1，
故{a_n}具有性质P．
必要性：若对于任意a₁，{a_n}具有性质P，
则a₂=b₁+sina₁，
设函数f（x）=x-b₁，g（x）=sinx，
由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b₁，二者图象必有一个交点，
∴一定能找到一个a₁，使得a₁-b₁=sina₁，
∴a₂=b₁+sina₁=a₁，∴a_n=a_n+1，
故b_n+1=a_n+2-sina_n+1=a_n+1-sina_n=b_n，
∴{b_n}是常数列．