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递减的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3•a5=63,a2+a6=16,(1)求{an}的通项公式(2)当n为多少时,Sn取最大值,并求其最大值.(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

题目详情
递减的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a3•a5=63,a2+a6=16,
(1)求{an}的通项公式
(2)当n为多少时,Sn取最大值,并求其最大值.
(3)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.
▼优质解答
答案和解析
(1)a2+a6=a3+a5=16,又a3•a5=63,
所以a3与a5是方程x2-16x+63=0的两根,
解得
a3=7
a5=9
a3=9
a5=7

又该等差数列递减,所以
a3=9
a5=7

则公差d=
a5−a3
2
=−1,a1=11,
所以an=11+(n-1)(-1)=12-n;
(2)由
an≥0
an+1≤0
,即
12−n≥0
11−n≤0
,解得11≤n≤12,
又n∈N*,所以当n=11或12时Sn取最大值,最大值为S11=S12=12×11+
12×11
2
(−1)=66;
(3)由(2)知,当n≤12时an≥0,当n>12时an<0,
①当n≤12时,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an
=Sn=
n(a1+an)
2
=
n(11+12−n)
2
=-
1
2
n2+
23
2
n;
②当n>12时,
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=(a1+a2+a3+…+a12)-(a13+a14+…+an
=-Sn+2S12=
1
2
n2-
23
2
n+2×66=
1
2
n2-
23
2
n+132;
所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=
1
2
n2+
23
2
n,n≤12
1
2
n2−
23
2
n+132,n>12