递减的等差数列{an}的前n项和为Sn．若a3•a5=63，a2+a6=16，（1）求{an}的通项公式（2）当n为多少时，Sn取最大值，并求其最大值．（3）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．

Question

递减的等差数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₃•a₅=63，a₂+a₆=16，
（1）求{a_n}的通项公式
（2）当n为多少时，S_n取最大值，并求其最大值．
（3）求|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|．

Answer 1

（1）a₂+a₆=a₃+a₅=16，又a₃•a₅=63，
所以a₃与a₅是方程x²-16x+63=0的两根，
解得

a3＝7

a5＝9

或

a3＝9

a5＝7

，
又该等差数列递减，所以

a3＝9

a5＝7

，
则公差d=(a5−a3)/(2)＝−1，a₁=11，
所以a_n=11+（n-1）（-1）=12-n；
（2）由

an≥0

an+1≤0

，即

12−n≥0

11−n≤0

，解得11≤n≤12，
又n∈N^*，所以当n=11或12时S_n取最大值，最大值为S₁₁=S12＝12×11+(12×11)/(2)(−1)=66；
（3）由（2）知，当n≤12时a_n≥0，当n＞12时a_n＜0，
①当n≤12时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=S_n=(n(a1+an))/(2)=(n(11+12−n))/(2)=-(1)/(2)n2+(23)/(2)n；
②当n＞12时，
|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=（a₁+a₂+a₃+…+a₁₂）-（a₁₃+a₁₄+…+a_n）
=-S_n+2S₁₂=(1)/(2)n2-(23)/(2)n+2×66=(1)/(2)n2-(23)/(2)n+132；
所以|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=

−(1)/(2)n2+(23)/(2)n，n≤12

(1)/(2)n2−(23)/(2)n+132，n＞12

．