定义函数f(x)=2|x+5|-|x+1|,数列a1,a2,a3…满足an+1=f(an),n∈N*.若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围为()A.a1≥-5B.a1≥-1C.a1≥-1或a1≤-5D.以上都不对
定义函数f(x)=2|x+5|-|x+1|,数列a1,a2,a3…满足an+1=f(an),n∈N*.若要使a1,a2,…an,…成等差数列.则a1的取值范围为( )
A. a1≥-5
B. a1≥-1
C. a1≥-1或a1≤-5
D. 以上都不对
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当an≥-1时,an+1-an=9>8;
当-5≤an<-1时,an+1-an=2an+11≥2×(-5)+11=1;
当an<-5时,an+1-an=-2an-9>-2×(-5)-9=1.
∴对任意n∈N*,an+1-an≥1.
即an+1≥an,即{an}为无穷递增数列.
又{an}为等差数列,所以存在正数M,当n>M时,an≥-1,
从而an+1=f(an)=an+9,由于{an}为等差数列,
因此公差d=9.
①当a1<-5时,则a2=f(a1)=-a1-9,
又a2=a1+d=a1+9,故-a1-9=a1+9,即a1=-9,从而a2=0,
当n≥2时,由于{an}为递增数列,故an≥a2=0>-1,
∴an+1=f(an)=an+c+8,而a2=a1+c+8,故当a1=-9时,{an}为无穷等差数列,符合要求;
②若-5≤a1<-1,则a2=f(a1)=3a1+11,又a2=a1+d=a1+9,
∴3a1+11=a1+9,得a1=-1,应舍去;
③若a1≥-1,则由an≥a1得到an+1=f(an)=an+9,从而{an}为无穷等差数列,符合要求.
综上可知:a1的取值范围为{-9}∪[-1,+∞).
故选D.
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