在等差数列{an}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=an(n+1)2，记Tn=-b1+b2-b3+b4-…+（-1）nbn，求Tn．

Question

在等差数列{a_n}中，已知公差d=2，a₂是a₁与a₄的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a (n(n+1))/(2)，记T_n=-b₁+b₂-b₃+b₄-…+（-1）ⁿb_n，求T_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₂是a₁与a₄的等比中项，
∴

a

2 2

＝a1a4，
∵在等差数列{a_n}中，公差d=2，
∴(a1+d)2＝a1(a1+3d)，即(a1+2)2＝a1(a1+3×2)，
化为2a1＝22，解得a₁=2．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n．
（Ⅱ）∵b_n=a (n(n+1))/(2)=n（n+1），
∴T_n=-b₁+b₂-b₃+b₄-…+（-1）ⁿb_n=-1×（1+1）+2×（2+1）-…+（-1）ⁿn•（n+1）．
当n=2k（k∈N^*）时，b_2k-b_2k-1=2k（2k+1）-（2k-1）（2k-1+1）=4k
T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_2k-b_2k-1）
=4（1+2+…+k）=4×(k(k+1))/(2)=2k（k+1）=(n(n+2))/(2)．
当n=2k-1（k∈N^*）时，
T_n=（b₂-b₁）+（b₄-b₃）+…+（b_2k-2-b_2k-3）-b_2k-1
=((n−1)(n+1))/(2)−n（n+1）
=-((n+1)2)/(2)．
故T_n=

(n(n+2))/(2)，n＝2k(k∈N*)

−((n+1)2)/(2)，n＝2k−1(k∈N*)

．