设A属于R是可测集,且对于任意x属于R,存在a大于零,使得m[A交U（x,a）]=0.求证：A是零测集.

Question

设A属于R是可测集,且对于任意x属于R,存在a大于零,使得m[A交U（x,a）]=0.求证：A是零测集.

Answer 1

任给 x属于R,设a_x>0,U(x,a_x) = (x - a_x,x + a_x)
使得m[A交U（x,a_x）]=0
于是 任给闭区间 【a,b】,{U(x,a_x) | x 属于 【a,b】} 是 [a,b]的一个开覆盖,于是存在有限子覆盖,即：存在 x1,...,xn 使得 {U(xi,a_xi) | i =1,...,n} 是 [a,b]的一个开覆盖
==> m(A交 [a,b]) 无穷大）m(A 交 [-n,n]) = lim(n-->无穷大）0 = 0