数学分析题:设p(x)=x5-2x4+3x-2,将p(x)化为(x-1)的幂的多项式

Question

数学分析题:设p(x)=x5-2x4+3x-2,将p(x)化为(x-1)的幂的多项式

Answer 1

用泰勒公式将p(x)在x=1处展开即可,分别计算各阶导数,p'(x)=5x^4-8x^3+3,p''(x)=20x^3-24x^2,p'''(x)=60x^2-48x,p''''(x)=120x-48,p'''''(x)=120,更高阶导数都等于0,因此p(1)=0,p'(1)=0,p''(1)=-4,p'''(1)=12,p''''(1)=72,p'''''(1)=120,故根据泰勒公式,p(x)=0+0-(4/2)(x-1)^2+(12/6)(x-1)^3+(72/24)(x-1)^4+(120/120)(x-1)^5=-2(x-1)^2+2(x-1)^3+3(x-1)^4+(x-1)^5.