设三个正数a、b、c满足（a2+b2+c2）2＞2（a4+b4+c4）,求证：abc一定是某三角形三边

Question

设三个正数a、b、c满足（a2+b2+c2）2＞2（a4+b4+c4）,求证：a b c一定是某三角形三边

Answer 1

∵（a^2+b^2+c^2）^2＞2（a^4+b^4+c^4）
∴a^4+b^4+c^4-2(ab)^2-2(bc)^2-2(ca)^2＜0
∴a^4+b^4+c^4-2(ab)^2+2(bc)^2-2(ca)^2＜4(bc)^2
∴(a^2-b^2-c^2)^2＜4(bc)^2
∴|a^2-b^2-c^2|＜2bc即-2bc＜a^2-b^2-c^2＜2bc
∴b^2-2bc+c^2＜a^2＜b^2+2bc+c^2即(b-c)^2＜a^2＜(b+c)^2
∴|b-c|＜a＜b+c
同理|a-c|＜b＜a+c
|a-b|＜c＜a+b
两边之和大于第三边,两边之差的绝对值小于第三边
所以a b c一定是某三角形三边