如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为AC上一点，连接BD，在边BC上取点E，使∠EDC=∠ADB，过E作EF⊥BD于K，交直线AB于F．（1）如图①，求证：BF=2AD；（2）如图②，在（1）的条件下，连接AE．交

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为AC上一点，连接BD，在边BC上取点E，使∠EDC=∠ADB，过E作EF⊥BD于K，交直线AB于F．
（1）如图①，求证：BF=2AD；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接AE．交BD于M，若ED=2EF，请您探究线段AM与ME之间的数量关系，并证明您的结论．

Answer 1

（1）证明：如图，作BG∥AC，交DE延长线于G点，作DH⊥BG，交BG于H．
∵EF⊥BD，
∴∠BFE=∠ADB=∠DBG=∠EDC．
∵∠G=∠EDC，
∴∠DBG=∠BFE=∠G．
∵∠EBF=∠EBG=45°，
∴△BEF≌△BEG，BF=BG．
∵∠DBG=∠G，
∴DB=DG．
∵DH⊥BG，
∴BH=GH．
∵BG∥AC，
∴ABHD是矩形，
∴AD=BH=(1)/(2)BG=(1)/(2)BF．
∴BF=2AD．
（2）如图，作EN∥BG，交BD于N，
∵△BEF≌△BEG，
∴EF=EG．
∵ED=2EF，∴ED=2EG．
∴(EN)/(BG)=(DE)/(DG)=(2)/(3)，BG=2AD，
∴(EN)/(AD)=(2×2)/(3)=(4)/(3)，
∴(AM)/(ME)=(AD)/(EN)=(3)/(4)．