如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=34，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．（1）求线段BD的长；（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；

Question

如图，已知四边形ABCD是矩形，cot∠ADB=(3)/(4)，AB=16．点E在射线BC上，点F在线段BD上，且∠DEF=∠ADB．

（1）求线段BD的长；
（2）设BE=x，△DEF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；
（3）当△DEF为等腰三角形时，求线段BE的长．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
在Rt△BAD中，cot∠ADB=(AD)/(AB)=(3)/(4)，AB=16，
∴AD=12∴BD=√(AD2+AB2)=20；
（2）∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DEF=∠ADB，
∴∠DEF=∠DBC，
∵∠EDF=∠BDE，
∴△EDF∽△BDE，
∴(S△DEF)/(S△BDE)=((DE)/(BD))2，
∵BC=AD=12，BE=x，
∴CE=|x-12|，
∵CD=AB=16
∴在Rt△CDE中，DE=√(162+(x-12)2)=√(x2-24x+400)，
∵S△BDE=(1)/(2)×BE×CD=(1)/(2)•x•16=8x，
∴(y)/(8x)=((√(x2-24x+400))/(20))2，
∴y=(x3-24x2+400x)/(50)，定义域为0<x≤24
（3）∵△EDF∽△BDE，
∴当△DEF是等腰三角形时，△BDE也是等腰三角形，
①当BE=BD时
∵BD=20，∴BE=20
②当DE=DB时，
∵DC⊥BE，∴BC=CE=12，
∴BE=24；
③当EB=ED时，
作EH⊥BD于H，则BH=(1)/(2)BD=10，cos∠HBE=cos∠ADB，
即(AD)/(BD)=(BH)/(BE)
∴(12)/(20)=(10)/(BE)，
解得：BE=(50)/(3)；
综上所述，当△DEF时等腰三角形时，线段BE的长为20或24或(50)/(3)．