已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限）

Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，-2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，得

a+b+c=0

4a+2b+c=0

c=-2

解得a=-1，b=3，c=-2．
∴y=-x²+3x-2．
（2）当△EDB∽△AOC时，
得(AO)/(ED)=(CO)/(BD)或(AO)/(BD)=(CO)/(ED)，
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，
当(AO)/(ED)=(CO)/(BD)时，得(1)/(ED)=(2)/(m-2)，
∴ED=(m-2)/(2)，
∵点E在第四象限，
∴E1(m，(2-m)/(2))．
当(AO)/(BD)=(CO)/(ED)时，得(1)/(m-2)=(2)/(ED)，
∴ED=2m-4，
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）．
（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为(m，(2-m)/(2))时，点F₁的坐标为（m-1，(2-m)/(2)），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴(2-m)/(2)=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
∴m=(7)/(2)，m=2（舍去），
∴F1((5)/(2)，-(3)/(4))，
∴S_{平行四边形ABEF}=1×(3)/(4)=(3)/(4)．
当点E₂的坐标为（m，4-2m）时，点F₂的坐标为（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，
∴m=2（舍去），m=5，
∴F₂（4，-6），
∴S_{平行四边形ABEF}=1×6=6．