已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合

Question

已知MN∥EF∥BC，点A、D为直线MN上的两动点，AD=a，BC=b．
（1）当点A、D重合，即a=0时（如图1），试求EF．（用含m，n，b的代数式表示）
（2）请直接应用（1）的结论解决下面问题：当A、D不重合，即a≠0，
①如图2这种情况时，试求EF．（用含a，b，m，n的代数式表示）
②如图3这种情况时，试猜想EF与a、b之间有何种数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴(EF)/(BC)＝(AE)/(AB)，（1分）
∵(AE)/(BE)＝(m)/(n)，
∴(AE)/(AB)＝(m)/(m+n)，（1分）
又BC=b，
∴(EF)/(b)＝(m)/(m+n)，
∴EF=(mb)/(m+n)；（1分）
（2）①如图2，连接BD，与EF交于点H，
由（1）知，HF=(mb)/(m+n)，EH=(na)/(m+n)，（2分）
∵EF=EH+HF，
∴EF=(mb+na)/(m+n)；（1分）
②猜想：EF=(mb−na)/(m+n)，（1分）
证明：连接DE，并延长DE交BC于G，
由已知得：BG=(na)/(m)，（1分
EF=(mGC)/(m+n)，（1分）
∵GC=BC-BG，
∴EF=(m)/(m+n)（BC-BG）=(m)/(m+n)(b−(na)/(m))＝(mb−na)/(m+n)．