空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形PQRH是平行四边形；（2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？（4）空

Question

空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）求证：四边形PQRH是平行四边形；
（2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？

Answer 1

证明：（1）如图，连接BD．
因为QR是△CBD的中位线，
所以QR∥BD，QR=(1)/(2)BD．
又因为PH是△ABD的中位线，
所以PH∥BD，PH=(1)/(2)BD．
根据公理4，QR∥PH，且QR=PH．
所以四边形QRPH是平行四边形．
（2）作出如图的空间四边形，
连接AC，BD可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到一个四边形PQRH，
由中位线的性质知，
PH∥QR，PQ∥RH，
故四边形PQRH是平行四边形，
又AC=BD，
故有PQ=(1)/(2)AC=(1)/(2)BD=QR，
故四边形PQRH是菱形．
（3）如图三所示：∵PQ∥AC，RH∥AC且PQ=(1)/(2)AC，RH=(1)/(2)AC
∴四边形PQRH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴PQ⊥QR，
∴四边形PQRH是矩形．
（4）四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．
理由如下：
∵P、Q、R、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、AD的中点，
∴PQ∥AC，且PQ=(1)/(2)AC，
PH∥BD，且PH=(1)/(2)BD，
∵四边形PQRH是正方形，
∴PQ=QR，PQ⊥QR，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形ABCD满足对角线互相垂直且相等时，四边形EFGH是正方形．
即四边形ABCD满足AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．