已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；（2）求证：∠AEH=∠CGF；（3）设DG=x，

Question

已知，如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF．
（1）当DG=2时，求证：菱形EFGH为正方形；
（2）求证：∠AEH=∠CGF；
（3）设DG=x，用含x的代数式表示△FCG的面积．

Answer 1

（1）证明：在△HDG和△AEH中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠A=90°，
∵四边形EFGH是菱形，
∴HG=HE，
在Rt△HDG和△AEH中，

HG＝HE

DG＝AH

，
∴Rt△HDG≌△AEH（HL），
∴∠DHG=∠AEH，
∴∠DHG+∠AHE=90°
∴∠GHE=90°，
∴菱形EFGH为正方形，
∴∠EHG=90°；

（2）证明：过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，
∵CD∥AB，
∴∠AEG=∠MGE，
∵GF∥HE，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠FGM；
（3）由（2）得到∠AEH=∠FGM，
在Rt△AHE和Rt△GFM中，

∠A＝∠M＝90°

∠AEH＝∠FGM

HE＝FG

，
∴Rt△AHE≌Rt△GFM（AAS），
∴MF=2，
∵DG=x，
∴CG=6-x，
∴S_△FCG=(1)/(2)CG•FM=6-x．