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在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.(1)如图1,若AB=32,BC=5,求AC的长;(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC

题目详情
在△ABC中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足为M,点C是BM延长线上一点,连接AC.
(1)如图1,若AB=3
2
,BC=5,求AC的长;
(2)如图2,点D是线段AM上一点,MD=MC,点E是△ABC外一点,EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F是线段BC的中点,求证:∠BDF=∠CEF.
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答案和解析
(1)∵∠ABM=45°,AM⊥BM,
∴AM=BM=ABcos45°=3
2
×
2
2
=3,
则CM=BC-BM=5-2=2,
∴AC=
AM2+CM2
=
22+32
=
13


(2)延长EF到点G,使得FG=EF,连接BG.
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由DM=MC,∠BMD=∠AMC,BM=AM,
∴△BMD≌△AMC(SAS),
∴AC=BD,
又CE=AC,
因此BD=CE,
由BF=FC,∠BFG=∠EFC,FG=FE,
∴△BFG≌△CFE,
故BG=CE,∠G=∠E,
所以BD=BG=CE,
因此∠BDG=∠G=∠E.
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