在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB=32，BC=5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC

Question

在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3√(2)，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3√(2)×(√(2))/(2)=3，
则CM=BC-BM=5-2=2，
∴AC=√(AM2+CM2)=√(22+32)=√(13)；

（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=BG=CE，
因此∠BDG=∠G=∠E．