如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．（1）求证：DF∥AO；（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

Question

如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．

（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．

（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC=√(AB2-AC2)=8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB-AD=4，
∵BD²=BF•BC，
∴BF=2，
∴CF=BC-BF=6．OC=(1)/(2)CF=3，
∴OA=√(AC2+OC2)=3√(5)，
∵OC²=OE•OA，
∴OE=(3√(5))/(5)，
∵EM∥AC，
∴(EM)/(AC)=(OM)/(OC)=(OE)/(OA)=(1)/(5)，
∴OM=(3)/(5)，EM=(6)/(5)，FM=OF+OM=(18)/(5)，
∴(EM)/(CG)=(FM)/(FC)=(3.6)/(6)=(3)/(5)，
∴CG=(5)/(3)EM=2．