已知：正十边形外接圆的半径为R．求证：正十边形的边长a10=12（5-1）R．

Question

已知：正十边形外接圆的半径为R．求证：正十边形的边长a₁₀=(1)/(2)（√(5)-1）R．

Answer 1

设AB是圆内接正十边形的一条边，则OA=OB=R，设AB=a₁₀
连接OA、0B，在OB上截取OM=AM，
∵∠AOB=(360°)/(10)=36°，
∴∠OAM=∠AOB=36°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=72°，
∴∠MAB=72°-36°=36°，
∴∠AMB=36°+36°=72°，
∴∠B=∠AMB，
∴AB=AM=OM=a₁₀，
∵∠B=∠B，∠MAB=∠AOB，
∴△OAB∽△ABM，
∴(AB)/(BM)=(AO)/(AM)，
∴(a10)/(R-a10)=(R)/(a10)，
∴a₁₀²+a₁₀R-R²=0，
∴a₁₀=(-1+√(5))/(2)R（或(-1-√(5))/(2)R不合题意舍弃）．
∴a₁₀=(1)/(2)（√(5)-1）R．