如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P-ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PMMC的值．

Question

如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．

（1）求三棱锥P-ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求(PM)/(MC)的值．

Answer 1

（1） 由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
可得S_△ABC=(1)/(2)AB•AC•sin60°=(√(3))/(2)．
因为PA⊥平面ABC，PA=1，
所以V_P-ABC=(1)/(3)•S_△ABC•PA=(√(3))/(6)；
（2） 过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，
由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，
因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．
因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．
在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=(1)/(2)，
从而NC=AC-AN=(3)/(2)．
由MN∥PA得(PM)/(MC)=(AN)/(NC)=(1)/(3)．