已知点A（-1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程．

Question

已知点A（-1，0），B（2，0），动点M满足2∠MAB=∠MBA，求点M的轨迹方程．

Answer 1

设M（x，y），∠MAB=α，则∠MBA=2α，它们是直线MA、MB的倾角还是倾角的补角，
与点M在x轴的上方还是下方有关；以下讨论：
①若点M在x轴的上方，α∈（0⁰，90⁰），y＞0，
此时，直线MA的倾角为α，MB的倾角为π-2α，
∴tanα=k_MA=(y)/(x+1)，tan(π−2α)＝(y)/(x−2)，（2α≠90⁰）
∵tan（π-2α）=-tan2α，∴-(y)/(x−2)＝(2•(y)/(x+1))/(1−(y2)/((x+1)2))，
得：x²-(y2)/(3)=1，∵|MA|＞|MB|，∴x＞1．
当2α=90°时，α=45°，△MAB为等腰直角三角形，此时点M的坐标为（2，3），它满足上述方程．
②当点M在x轴的下方时，y＜0，同理可得点M的轨迹方程为x²-(y2)/(3)=1（x≥1），
③当点M在线段AB上时，也满足2∠MAB=∠MBA，此时y=0（-1＜x＜2）．
综上所求点的轨迹方程为x²-(y2)/(3)=1（x≥1）或y=0（-1＜x＜2）．